следующая тема »

Когда (если) выспросишь, кто там и как вычисляет логарифм от отрицательного числа, кинь и мне ответ (может я таки отстал от жизни )

--
Бакалавр Пет по специальности Системный анализ и управление кафедры прикладной математики харьковского университета радидоэлектроники

В связи с тем, что соответствующей литературы под рукой нет, напишу как помню
Давайте вспомним, как синусы/арксинусы/экспоненты/логарифмы вычисляются в современной технике.
Как известно, все они могут быть разложены в ряд вида k(n)/x^n
где n - номер члена ряда
k(n) - некий коэффициент, зависящий от номера
x^n - аргумент функции в энной степени.
(или что-то вроде того )
А такому ряду что отрицательный, что мнимый аргумент - всё равно какой-то результат получится
А наличие математического смысла тут ни при чём...

> Когда (если) выспросишь, кто там и как вычисляет логарифм от отрицательного числа, кинь и мне ответ

exp( ix ) = cos(x) + i * sin(x)

Соответственно, при u>0:
ln(-u)=ln(u)+i*pi*(1+2k), где k - произвольное целое число.

[на множестве комплексных чисел определена операция деления.]

Видимо, у всех комплексные числа вводились по-разному, поэтому нам надо прийти к некоторому общему знаменателю - иначе мы рискуем запутаться в определениях. Я расскажу, как комплексные числа вводят на мехмате МГУ, и как вводятся функции синуса-косинуса, логарифма и экспоненты в комплексной области.

1. Множество комплексных чисел вводится аксиоматически, как множество упорядоченных пар (действительных) чисел (x, y), на котором определены операции сложения, вычитания и умножения. (Т.е., как кольцо.) Как уже было справедливо отмечено, комплексные числа вводятся с таким расчетом, чтобы i^2=-1, то есть, (0,1)^2=(-1,0). Оказывается, что при этом условии кольцо комплексных чисел является еще и полем, иначе говоря, на множестве комплексных чисел определена операция деления.

(Формально: для любого z из C, не равного (0,0), существует и притом единственное z1, такое, что z*z1=(1,0).)

2. Оказывается далее, что на множестве комплексных чисел определена операция дифференцирования. Иначе говоря, наряду с обычным представлением дифференциала

df(x,y) = fx * dx + fy *dy, (где fx и fy - частные производные f по x и y),

существует и представление в виде

df(x+iy) = df * d(x+iy)

3. Так как множество C во многом является расширением множества R, то бОльшая часть теорем матана действует и для комплексных чисел. Исключение - утверждения, которые используют отношения больше-меньше. Отношение упорядочения на множестве комплексных чисел не определено.

4. Наряду с "обычными" свойствами, унаследованными от действительных чисел, множество комплексных чисел обладает рядом интересных особенностей. Нам будут интересны в первую очередь два факта - существование гармонического продолжения (если функция f определена на замкнутой кривой, то существует регулярная функция g в окрестности этой кривой, равная f на границе) и единственность регулярной функции (если две регулярные функции совпадают на некотором непрерывном множестве, то они совпадают во всей области определения).

(Замечу в скобках, что на множетсве действительных чисел последнее утверждение неверно даже для бесконечно-дифференцируемых функций. В качестве примера обычно приводят функцию exp(-1/(x-u)^2), доопределенную нулем правее u - она бесконечно-дифференцируема на всем R, но две разные функции (при двух разных u) могут совпадать справа и не совпадать слева.)

5. Функция экспоненты может быть определена в C так же, как и на  R - как соответствующий предел. Она, очевидно, будет обладать всеми теми же свойствами, что и обычная экспонента. Функция натурального логарифма определяется, как функция, обратная экспоненте: u = ln(z) тогда и только тогда, когда exp(u)=z. Как было впоследствии понято, u - неединственно (иначе говоря, функция логарифма т.н. многолистна).

6. Функция синуса или косинуса вводится, как гармоническое продолжение соответственно синуса или косинуса на действительной оси. Можно поступить и проще, обратив внимание, что степенные ряды для этих функций, записанные формально для C, продолжают сходиться для любого z, и при том совпадают на непрерывном подмножестве R. Следовательно, продолжение функции синуса (косинуса) в C - единственно.

Функции арксинуса и остальных вводятся так же, как вводилась функция логарифма по отношению к экспоненте.

7. Между экспоненциальной и тригонометрическими функциями существует определенная связь:

exp(iz) = cos(z) + i * sin(z)

Это выражение, которое дают еще в школе (для действительного аргумента), выполняется для любого z из C. Доказательство - выпишем разложение соответствующих функций в ряды и приведем подобные члены при i.

8. Наконец, как насчет исходной задачки sin(x)=4?

Ответ: x = pi/2 + 2pi*k +- i * ln(4+sqrt(15)), k-целое число.
(Т.е., две серии решений.)

Ход решения: выразим синус через экспоненту sin(ix)=i*(exp(x)-exp(-x))/2, обозначим W=exp(x), получим квадратное уравнение W-1/W=-8i.

P.S. Задача, которую давали Кланси на экзамене, решается аналогично (попробуйте сами).

3. Так как множество C во многом является расширением множества R, то бОльшая часть теорем матана действует и для комплексных чисел. Исключение - утверждения, которые используют отношения больше-меньше. Отношение упорядочения на множестве комплексных чисел не определено.

Замечу, что это скорей потому, что не удосужились определить. Было бы надо - определили бы.

[Секош, пасиб за экскурс.]

Секош, пасиб за экскурс. Энную часть я знал, но все ж множество С у нас вводилось через "ж", без нормального определения операций определенных на множестве.
При чем что самое интересное я пункт про интегралы знал лучше остальных (нет ничего приятней медленного взятия тройного интеграла )

ЗЫ: Кстать, Секох, но ведь ответ-то я правильный дал :cool:

2 Дем

А наличие математического смысла тут ни при чём...

Дубль два. Я имел ввиду R, и вот как раз там логарифм  отрицательного числа не имеет математичсекого смысла

Замечу, что это скорей потому, что не удосужились определить. Было бы надо - определили бы.

Хех, спорно, но не будет в теоретические дебри углублятся, да?

Я ошибся темой ? Или мне дали левую ссылку ? Странно , заходил на тему про Матрицу и инопланетян , а оказался на каком то споре математиков-теоретиков !

Прочти название темы. И помедитируй над строчкой "о природе научных открытий":roll:
Ещё рекомендуется тему с начала прочесть.

Прочитал , помедитировал . И пришла мне интересная мысля : возьму учебник по квантовой физике и забабахаю какую нибудь цитату , чтоб всем стало всё понятно-понятно .

И пришла мне интересная мысля : возьму учебник по квантовой физике и забабахаю какую нибудь цитату , чтоб всем стало всё понятно-понятно .

Кто тебе мешает? Физик, блин.

Кто мешает ? Лень , батенька , лень !

[C]

"]При чем что самое интересное я пункт про интегралы знал лучше остальных (нет ничего приятней медленного взятия тройного интеграла )

Угу, интегралы регулярных функций в C - весьма приятственная штука, особенно после интегралов в R.

"]ЗЫ: Кстать, Секох, но ведь ответ-то я правильный дал :cool:

На множестве действительных чисел - совершенно верно. Это тривиальная часть, которую я пропустил.

"]

Замечу, что это скорей потому, что не удосужились определить. Было бы надо - определили бы.

Хех, спорно, но не будет в теоретические дебри углублятся, да?

А вот и нет. Как нам рассказывали, попытки ввести отношения больше-меньше были, но успехом не увенчались. (Доказать я это не смогу.)

Угу, интегралы регулярных функций в C - весьма приятственная штука, особенно после интегралов в R.

А если еще применять интегралы в С для взятия неберущихся интегралофф в R и + еще в добавок великий штюк под названием интегрирование функций имеющий разрывы типа "полюс", ой, это не из той оперы! (хехе, преп был один, вот и ассоциация рядом )

На множестве действительных чисел - совершенно верно

Дык, там же у мну четко это написано

А вот и нет.  Как нам рассказывали, попытки ввести отношения больше-меньше были, но успехом не увенчались. (Доказать я это не смогу.)

Вот и у меня такие же подозрения, правда дальше не продвигался

Итак, после проведённого расследования стало ясно, что я был неправ и в "матрице" ДЕЙСТВИТЕЛЬНО есть инопланетяне. Правда, я начал сомневацца, есть ли там разумные машины, ну да ладно.
Более того, я даже могу назвать расу инопланетян. Это Korh-Ah. Да, да, те самые Кор-А из Star-Control 2.
Доказательство лежит ТУТ и каждый может сам в этом убедиться.

Хм, нижнее изображение жестоко урезано. Как оно выглядит выше?

Никак.... потому как оно не урезалось.
Так Кор-А выглядят в игре.

[Re: Эволюция виртуальных реальностей]